Jozef Kostka sa narodil 29. januára 1912 v Stupave, v rodine s habánskou tristoročnou tradíciou. Jeho otec, keramik a džbánkar, Ján Kostka ml. (1861–1919) si postavil dom s keramickou pecou v neďalekej Marianke, malebnej dedinke na úpätí Malých Karpat, známeho pútnického miesta, kde malý Jozef strávil prvé roky detstva. Ján Kostka zomrel v roku 1919 na španielsku chrípku a zanechal po sebe vdovu s tromi malými deťmi, z ktorých sedemročný Jozef bol najmladší. Rodine celé roky vypomáhal mladší brat Jána Ferdiš Kostka, ktorý ako ľudový keramik pracoval a tvoril v starej rodinnej dielni v Stupave. Keď mal Jozef štrnásť rokov odviedla ho matka do Stupavy k strýkovi Ferdišovi do učenia. I keď práca v dielni bola náročná (pracovalo sa od siedmej rána do siedmej večer), mladý Kostka si okrem zručnosti práce s hlinou upevnil svoje väzby na rodinnú tradíciu a obdiv k ľudovému remeslu svojich predkov . Pod vplyvom zberateľov a milovníkov umenia, ktorí často navštevovali stupavskú dielňu, nakoniec Ferdiš Kostka podporil snahu svojho synovca pokračovať v ďalšom umeleckom vzdelávaní.
„V roku 1929 dostal Jozef Kostka od strýka Ferdiša výučný list ,tovaryša´ a už nič nebránilo tomu, aby pokračoval v ďalšom umeleckom školení. Ferdiš sa rozhodol pre Školu umeleckých remesiel v Brne, ktorá Kostkovi poskytla dvojročné štipendium. Po troch rokoch strávených v Brne Kostka s niekoľkými kamarátmi odišiel tajne urobiť skúšky na umeleckopriemyselnú školu do Prahy. Bol prijatý do druhého ročníka ateliéru profesora Karla Dvořáka. Toto rozhodnutie malo pre budúcnosť umelca zásadný význam. Praha poskytovala v tridsiatych rokoch 20. storočia určite bohatšie kultúrne zázemie ako Brno. Kostka tu naviazal priateľstva a kontakty, ktoré sa ukázali ako rozhodujúce pre jeho ďalší život. V Prahe v týchto rokoch študovali Ján Mudroch, Ján Želibský, žil tu Cyprián Majerník, vo vydavateľstve Elán pôsobil básnik Ján Smrek.“ Marcela Macharáčková, Doba a spoločenské pozadie Kostkovej tvorby, in: M. Macharáčková–Štefan Zajíček (ed), Jozef Kostka. Dielo v čase. Zborník príspevkov zo sympózia pri príležitosti jubilejnej výstavy k 100. výročiu narodenia umelca, Záhorská galéria Jána Mudrocha v Senici, 2013, s. 22–23.
„Bezprostredne po návrate z Paríža sa zapojil do kultúrneho života v Bratislave. Vystavoval s Jánom Mudrochom a podieľal sa na vydávaní zborníkov nadrealistických slovenských básnikov s protivojnovým obsahom (Sen a skutočnosť, Vo dne a v noci, Pozdrav, 1940–1942). Kostka priniesol na Slovensko impulzy českej sochárskej školy 20. storočia, ale aj francúzskeho sochárstva od Rodina po Maillola. Kostkove „živé“ sochy, ktoré zostúpili z piedestálu statických pomníkov, prijala mladá básnická generácia s nadšením. Rudolf Fabry ich nazval básnickými sochami – sochárskymi básňami.“ Marcela Macharáčková, Jozef Kostka, klasik slovenskej sochárskej moderny, text skladačky k výstave Nitrianskej galérie v Nitre, 21. 3. – 28. 4. 2013.
V povojnových rokoch sa Kostka aktívne zapojil do slovenského kultúrneho života. K aktuálnym spoločenským úlohám patrilo budovanie pomníkov víťazstva nad fašizmom. Ako jeden zo sochárov svojej generácie bol na túto úlohu predurčený Kostka. V roku 1945 –1949 vytvoril pomník Víťazstva v Bratislave pred budovou Reduty na Hviezdoslavovom námestí. „Kostka v súlade s antickou tradíciou použil na vyjadrenie víťazstva nad fašizmom postavu nakročenej ženy – bohyne Niké, ktorú mal možnosť poznať v parížskom Louvri. ..Modelom k soche Víťazstva mu stála manželka Anna, akoby v jej postave chcel umelec vzdať hold osobnému hrdinstvu a utrpeniu, ktorému bola vystavená ako partizánka v Slovenskom národnom povstaní...Druhým monumentálnym dielom, pomníkom SNP (Obrancovia) v Partizánskom (bývalé Baťovany) sa Kostka opäť nezmazateľne zapísal do československej povojnovej pomníkovej tvorby.“ Marcela Macharáčková, Doba a spoločenské pozadie Kostkovej tvorby, in: Marcela Macharáčková–Štefan Zajíček (ed), Jozef Kostka. Dielo v čase. Zborník príspevkov zo sympózia pri príležitosti jubilejnej výstavy k 100.výročiu narodenia umelca, Záhorská galéria Jána Mudrocha v Senici, 2013, s. 26–27.
Začiatokom päťdesiatych rokov sa nevyvíjalo umelecké dianie v Československu priaznivo. Tvrdá ruka stalinizmu zasiahla do prirodzeného vývoja umenia. Okrem politických procesov s nepriateľmi socialistického režimu začal tiež hon na tzv. formalistov vo výtvarnom umení.
„Na prelome päťdesiatych a šesťdesiatych rokov naberá Kostkova tvorba komornejší charakter. Do popredia jeho záujmu sa dostáva opäť žena. Svoje výtvarné hľadania preveruje stovkami kresieb, ktoré sú kľúčom k jeho sochám. Kostka sa stal v tejto súvislosti významným predstaviteľom sochárskej kresby v Československu... v roku 1960 vychádza umelcovi monografia venovaná jeho kresbám z pera Karola Vaculíka.“ Marcela Macharáčková, Jozef Kostka, klasik slovenskej sochárskej moderny, text skladačky k výstave Nitrianskej galérie v Nitre, 21. 3. – 28. 4. 2013.
„Šesťdesiate roky 20. storočia predstavujú v tvorbe Jozefa Kostku roky slobodného rozmachu, nového nadýchnutia sa po rokoch politických nátlakov a „návodov“ na umelecké prejavy. Jeho tvorivé rozpätie tohto obdobia je obrovské. Vedľa ženských figurálnych plastik, ktoré väčšinou oslavovali mladosť a materstvo, ale tiež zachytávali intímnu atmosféru ateliéru (Sochár a model, 1962, 1968) zameriava svoju pozornosť na nefiguratívne objekty. Pri hľadaní sochárskeho tvaru sa inšpiruje prírodou – kameňmi, stromami, kvetmi. Výsledné diela majú v sebe zakódované znaky ako príbehy a emotívne posolstvá plné metafor a alegórii (Malá balada, 1966; Veľká balada, Veľký kvet, 1967). Kostka v nich vypovedá svoj hlboký vzťah k slovenskej krajine a k svojmu detstvu v Marianke na Záhorí. Ako symbol Slovenska vytvára typ ženy – Slovenky, ktorej tvary minimalizuje alebo premieňa v rôznych variantoch prelínania sa s prírodnými formami.“ Marcela Macharáčková, Jozef Kostka, z tvorby 60. rokov 20. storočia, text letáku k výstave, Galéria mesta Bratislavy, 2014.
„Významnou súčasťou tvorby šesťdesiatych rokov tvorí aj práca s drevom. Razantným gestom hľadá v dreve tvary. Výsledkom sú rustikálne pôsobiace objekty, so zdôraznením štruktúry dreva (Slovenky, Rozhovor, Pútnik z Marianky, Nájdený tvar, 1967–1969). Jeho tvorba týchto rokov akoby sa odohrávala v trvalom zápase a hľadaní medzi silným sochárskym gestom a lyrizmom, ktorý napĺňa jeho dielo bohatosťou námetov a nevšedným obsahom.“ Marcela Macharáčková, Jozef Kostka, z tvorby 60. rokov 20. storočia, text letáku k výstave, Galéria mesta Bratislavy, 2014.
Neskorá Kostkova tvorba zahŕňa posledné štvrťstoročie umelcovho života. Jej počiatok datujeme približne rokom 1970, kedy normalizácia v Československu postihla väčšiu časť našej inteligencie a osobnosti kultúry. Kostka v roku 1973 ako 61 ročný musí opustiť svoj ateliér a miesto profesora na Vysokej škole výtvarných umení. „Umelcovi, ktorý sa na vrchole tvorivých síl ocitol naraz mimo spoločenského a pedagogického pôsobenia, na ktorom bol zaangažovaný viac ako tridsať rokov, sa paradoxne otvoril priestor a mohol sa naplno venovať len svojej práci. ...Neskorá Kostkova tvorba má rýdzo komorný a intímny charakter a vedľa plastiky a kresby, ktorej sa venuje s rovnakou posadnutosťou ako v predchádzajúcich rokoch, nám umelec zanechal aj úctyhodné dielo keramické a maliarske.“ Marcela Macharáčková, Maliarska a keramická tvorba Jozefa Kostku, in: Jozef Kostka. Neskorá tvorba (1970–1996), katalóg výstavy Záhorská galéria v Senici a Združenie priateľov Jozefa Kostku, 2002, nepag.